Gemischte Modelle

# Gemischte Modelle
### Statistik mit R <a href='https://therbootcamp.github.io'> The R Bootcamp </a> <a href='https://therbootcamp.github.io/SmR_2020Mai/'> </a>  <a href='https://therbootcamp.github.io'> </a>  <a href='mailto:therbootcamp@gmail.com'> </a>  <a href='https://www.linkedin.com/company/basel-r-bootcamp/'> </a>
### Mai 2020

---

<div class="my-footer">
 
 
 <img src="https://raw.githubusercontent.com/therbootcamp/therbootcamp.github.io/master/_sessions/_image/by-sa.png" height=14 style="vertical-align: middle"/>
 
 <a href="https://therbootcamp.github.io/">
 
 
 www.therbootcamp.com
 
 
 </a>
 <a href="https://therbootcamp.github.io/">
 
 Statistik mit R | Mai 2020
 
 </a>
 
 </div>

---

# Ein Beispiel zur Datenerhebung

]

]

---

# [IID](https://de.wikipedia.org/wiki/Unabh%C3%A4ngig_und_identisch_verteilte_Zufallsvariablen) Annahme

.pull-left45[
Bisherige Regressionsmodelle machen die Annahme, dass die Residuen unabhängig und gleichverteilt sind (independent and identically distributed, <high>iid</high>).

<ul>
 <li class="m1"><high>Unabhängig</high>: Das Auftreten eines Wertes hat keinen Einfluss auf das Auftreten anderer Werte.</li>
 <li class="m2"><high>Gleichverteilt</high>: Alle Datenpunkte stammen aus derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung.</li>
</ul>

Bisherige Modelle sind gegenüber der Verletzung der Unabhängigkeitsannahme <high>nicht robust</high>.

]

]

---

# Beispiele von Daten, bei denen die IID.-Annahme verletzt ist

<ul>
 <li class="m1">Leistung von Schülern in der PISA Studie(<high>Schüler > Klassen > Schulen > Ländern</high>).</li>
 <li class="m2">Multizentrische klinische Studie (<high>Patienten > Ärzte > Zentrum</high>).</li>
 <li class="m3">Vergleich unterschiedlicher Designs oder Geschmäcker eines Produkts mit <high>mehreren Einschätzungen pro Person</high>.</li>
</ul>

**Wichtig**: *Verletzungen der IID-Annahme können zu irreführenden Resultaten führen, z.B. dem Unterschätzen des Standardfehlers.*

]

<img src="image/pisa.png" height=100px> 
from <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/PISA-Studien">wikipedia.org</a>

<img src="image/multi-arm-trial.jpg" height=100px> 
from <a href="https://www.mssociety.org.uk/research/latest-research/latest-research-news-and-blogs/first-multi-drug-clinical-trial-in-ms-successfully-completed">mssociety.org.uk</a>

<img src="image/sweets.jpg" height=100px> 
from <a href="https://londonist.com/london/free-and-cheap/this-5-metre-high-pick-n-mix-wall-has-half-a-tonne-of-free-sweets">londonist.com</a>

]
---

# Beispiel - Multizentrische klinische Studie

.pull-left45[
 
Wir wollen die Effektivität unterschiedlicher Dosierungen eines Medikamentes evaluieren. Dazu haben wir Daten über drei Zentren.

So würden wir eine Regression über alle Zentren rechnen (aber ist dies eine gute Idee?):

```r
mod <- lm(formula = Merkmal ~ Dosis,
 data = DATEN_ZENTREN)
```

]

]

---

# Beispiel - Multizentrische klinische Studie

Wir wollen die Effektivität unterschiedlicher Dosierungen eines Medikamentes evaluieren. Dazu haben wir Daten über drei Zentren.

So würden wir eine Regression pro Zentrum rechnen (aber ist dies eine gute Idee?):

```r
mod_s1 <- lm(formula = Merkmal ~ Dosis,
 data = DATEN_ZENTRUM1)

mod_s2 <- lm(formula = Merkmal ~ Dosis,
 data = DATEN_ZENTRUM2)

mod_s3 <- lm(formula = Merkmal ~ Dosis,
 data = DATEN_ZENTRUM3)
```

]

]

---

# Gemischtes Modell

Gemischte Modelle (mixed effects models) bieten eine bessere Möglichkeit Daten zu analysieren, welche die IID Annahme verletzen.

Gemischte Modelle kombinieren zwei Arten von Effekten, die unterschiedliche Zwecke erfüllen:

<ul>
 <li class="m1"><high>Feste Effekte (fixed effects)</high>
 
 <ul class="level">
 <li>Die Globaleffekte, welche wir quantifizieren möchten.</li>
 </ul>
 </li>
</ul>

<ul>
 <li class="m2"><high>Zufällige Effekte (random effects)</high>
 
 <ul class="level">
 <li>Berücksichtigung der Abhängigkeiten in den Daten.</li>
 <li>Diejenigen Effekte, über welche wir generalisieren möchten.</li>
 </ul>
 </li>
</ul>

]

```r
 # feste Effekte
LMM <- lmer(formula = y ~ FE1 + FE2 + 
 # zufällige Effekte
 (FE1|RE) + (FE2|RE), 
 data = DATEN)
```

]

---

# Feste Effekte

Feste Effekte repräsentieren dieselben Gruppeneffekte wie bei den bisherigen Regressionsmodellen; zum Beispiel den Effekt eines Medikamentes auf ein relevantes Merkmal.

Bis jetzt haben wir ausschliesslich Modelle mit festen Effekten betrachtet.

```r
mod <- lm(formula = Merkmal ~ Dosis,
 data = DATEN_ZENTREN)
```

]

]

---

# Beispieldaten

Wir möchten den Einfluss von Alkoholkonsum auf Filmrezensionen auf [Rotten Tomatoes](https://www.rottentomatoes.com/) untersuchen.

Wir rekrutieren zwei Versuchspersonen, die je zwei Filme beurteilen, und zwar einmal im nüchternen Zustand und einmal nachdem sie 4 kleine Biere getrunken haben.

<ul>
 <li class="m1">Wiederholte Messung (within subjects design).</li>
 <li class="m2">Dieselben Filme an beiden Zeitpunkten für beide VPs.</li>
</ul>

]

]

---

# Modell mit ausschliesslich festen Effekten

---

# Zufällige Effekte

.pull-left45[
Kontrollieren für Quellen, die Abhängigkeiten in den Daten verursachen können, unter der Annahme, dass aus diesen Quellen zufällig gezogen wird. Dabei sind wir nicht direkt an den konkreten Werten der zufälligen Effekte interessiert.

Zufällige Effekte:

<ul>
 <li class="m1">Sind häufig der Teil, über welchen wir generalisieren möchten.</li>
 <li class="m2">Sind immer kategoriale Variablen (<high>factors</high>).</li>
 <li class="m3">Repräsentieren zufällige Ziehungen aus der Population.</li>
</ul>

]

]

---

# Zufällige Effekte

>Durch das Spezifizieren zufälliger Effekte in unserem Modell sind wir in der Lage, die Eigenheiten unserer Stichprobe auszublenden und eine allgemeinere Schätzung der festen Effekte zu erhalten.
<a href="http://davidkellen.org/wp-content/uploads/2017/04/introduction-mixed-models.pdf">Singmann & Kellen, 2017

]

]

---

# Zufällige Effekte - Intercepts und Slopes

Wir unterscheiden zwischen zwei Arten zufälliger Effekte:

<ul>
 <li class="m1"><high>Random Intercepts</high>
 
 <ul class="level">
 <li>Geschätzte durchschnittliche Abweichung jedes Faktorlevels des zufälligen Effekts vom Intercept des festen Effekts.</li>
 </ul>
 </li>
</ul>

<ul>
 <li class="m2"><high>Random Slopes</high>
 
 <ul class="level">
 <li>Geschätzte Abweichung jedes Faktorlevels des zufälligen Effektes vom Slope des festen Effekts.</li>
 </ul>
 </li>
</ul>

]

]

---

# Modell mit Random Intercepts

<img src="image/subj_RI_plot.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />

<figcaption align = "center" style="display: block; margin: auto;">Random Intercepts über Probanden</figcaption>

]

<img src="image/mov_RI_plot.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />

<figcaption align = "center" style="display: block; margin: auto;">Random Intercepts über Filme</figcaption>

]

---

# Modell mit Random Intercepts und Random Slopes

<img src="image/subj_RI_RS_plot.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />

<figcaption align = "center" style="display: block; margin: auto;">Random Intercepts und Slopes über Probanden</figcaption>

]

<img src="image/mov_RI_RS_plot.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />

<figcaption align = "center" style="display: block; margin: auto;">Random Intercepts und Slopes über Filme</figcaption>

]

---

# Modell mit gekreuzten zufälligen Effekten

---